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2025年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）
考试时间：2025年10月16日
8：00—9：20
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。
把答案填在横线上．1．设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合．
2．函数的值域为
．
3．设为正实数，，则
．
4．如果，那么的取值范围是
．
5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为
．（用数字作答）
6．在四面体中，已知，，则四面体的外接球的半径为
．
7．直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，则点的坐标为
．
8．已知C，则数列中整数项的个数为
．
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．（本小题满分16分）设函数，实数满足，求的值．
10．（本小题满分20分）已知数列满足：R且，N．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，试比较与的大小．
y
x
O
P
A
B
11．（本小题满分20分）作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方．
（1）证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上；
（2）若，求△的面积．
2025年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）
考试时间：2025年10月16日
9：40—12：10
一、（本题满分40分）如图，分别是圆内接四边形的对角线的中点．若，证明：．
A
B
C
D
Q
P
二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式
具有如下性质：
（1）均为正整数；
（2）对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有
．
三、（本题满分50分）设是给定的正实数，．对任意正实数，满足的三元数组的个数记为．
证明：．
四、（本题满分50分）设A是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．